Nằm lòng lý thuyết phương sai và độ lệch chuẩn lớp 10

Phương sai và độ lệch chuẩn lớp 10 là phần kiến thức rất quan trọng của chương trình Đại số THPT. Trong bài viết này, VUIHOC sẽ giới thiệu tới các em học sinh tổng hợp chi tiết lý thuyết về phương sai và độ lệch chuẩn, cùng bộ bài tập tự luận chọn lọc có hướng dẫn giải chi tiết.

1. Lý thuyết toán 10 phương sai và độ lệch chuẩn

Trong phần này, các em cùng VUIHOC tìm hiểu từng định nghĩa cùng công thức của phương sai và độ lệch chuẩn.

1.1. Phương sai

Trong toán học, phương sai biểu thị khoảng cách của các quan sát trong bộ dữ liệu. Phương sai tìm ra mức độ trung bình mà mỗi quan sát khác nhau. Hiểu đơn giản hơn, phương sai trong bài phương sai và độ lệch chuẩn toán 10 được định nghĩa là:

Phương sai của một bảng số liệu là số đại diện cho độ phân tán của các số liệu so với số trung bình của nó. Ký hiệu phương sai của bảng thống kê dấu hiệu x là Sx2.

Công thức tính phương sai như sau:

Trường hợp 1: Đối với bảng phân bố và xác suất rời rạc:

Công thức tính phương sai - phương sai và độ lệch chuẩn

Trong đó, x là số trung bình của bảng số liệu.

Trường hợp 2: Đối với phân bố tần số và xác suất ghép lớp:

Công thức tính phương sai bảng ghép lớp - phương sai và độ lệch chuẩn

Trong đó:

$C_i(i=1,2,... , k)$ là giá trị trung tâm của lớp i
x là số trung bình của bảng số liệu.

Công thức phương sai có thể viết gọn với ký hiệu tổng () như sau:

Công thức tính phương sai tổng - phương sai và độ lệch chuẩn

1.2. Độ lệch chuẩn

Độ lệch chuẩn hay còn được gọi là độ lệch tiêu chuẩn. Trong bài học về phương sai và độ lệch chuẩn toán lớp 10, độ lệch chuẩn được định nghĩa như sau:

Căn bậc hai của phương sai của một bảng số liệu chính là độ lệch chuẩn của bảng đó. Ký hiệu độ lệch chuẩn là $S_x$ (dấu hiệu là x).

Cần lưu ý:

Nếu độ lệch chuẩn bằng 0 => phương sai bằng 0 => Các giá trị quan sát chính là các giá trị trung bình. Hiểu theo cách khác, khi độ lệch chuẩn bằng 0 thì không có sự biến thiên.
Nếu độ lệch chuẩn càng lớn => sự biến thiên xung quanh giá trị trung bình càng lớn.
Độ lệch chuẩn và phương sai đều dùng để đánh giá mức độ phân tán của các số liệu quan sát (so với giá trị trung bình). Nhưng khi cần chú ý đến đơn vị đo, ta thường dùng độ lệch chuẩn thay vì phương sai bởi vì độ lệch chuẩn luôn cùng đơn vị đo với dấu hiệu được nghiên cứu.

Công thức tính độ lệch chuẩn đã được học trong bài Phương sai và độ lệch chuẩn Toán 10 như sau:

$S= \sqrt{\frac{\sum_{i}^{n}(x_{i} - \bar{X})^{2}}{n - 1}}$

Ngoài ra, ta có công thức biểu diễn quan hệ của phương sai và độ lệch chuẩn như sau:

Công thức quan hệ phương sai và độ lệch chuẩn

Đăng ký ngay để được các thầy cô ôn tập và xây dựng lộ trình học tập THPT vững vàng

2. Cách bấm máy tính phương sai và độ lệch chuẩn

Để giúp các em học sinh giải quyết nhanh các bài toán về phương sai và độ lệch chuẩn, cùng VUIHOC tham khảo cách bấm máy tính phương sai và độ lệch chuẩn dưới đây.

cách bấm máy tính phương sai và độ lệch chuẩn

3. Bài tập luyện tập phương sai và độ lệch chuẩn lớp 10

Áp dụng các công thức về phương sai và độ lệch chuẩn trên, các em học sinh luyện tập với bộ bài tập phương sai và độ lệch chuẩn dưới đây. Lưu ý, mỗi bài tập đều có hướng dẫn giải chi tiết, để có hiệu quả cao nhất, các em học sinh nên tự giải sau đó so sánh với kết quả của VUIHOC nhé!

Bài 1: Hai lớp 10C và 10D của một trường THPT đồng thời làm bài thi môn Ngữ văn theo cùng một đề thi. Kết quả thi được trình bày theo 2 bảng phân bố tần số sau đây:

Điểm thi ngữ văn của lớp 10C:

Điểm thi	5	6	7	8	9	10	Tổng
Tần số	3	7	12	14	3	1	40

Điểm thi Ngữ văn của lớp 10D:

Điểm thi	6	7	8	9	Cộng
Tần số	8	18	10	4	40

a) Tính các số trung bình cộng, phương sai, độ lệch chuẩn của các bảng phân bố tần số đã cho.

b) Xét kết quả làm bài thi môn Ngữ văn ở lớp nào đồng đều hơn?

Hướng dẫn giải:

a) Trong dãy số liệu cập nhật về điểm thi của lớp 10C ta có

$\bar{x} = \frac{1}{40}(3.5 + 7.6 + 12.7 + 14.8 + 3.9 + 1.10) \approx 7,2$ (điểm)

Phương sai được tính như sau:

$s_{1}^{2} = \frac{1}{40}[3(5 - 7,2)^{2} + 7.(6 - 7,2)^{2} + 12(7 - 7,2)^{2} + 14(8 - 7,2)^{2} + 3(9 - 7,2)^{2} + 1(10 - 7,2)^{2}] \approx 1,3$

Độ lệch chuẩn $s_{1} \approx 1,13$

Theo số liệu về điểm thi của lớp 10D ta có:

$\bar{y} = \frac{1}{40}(8,6 + 18,7 + 10,8 + 4,9) \approx 7,2$ (điểm)

$s_{2}^{2} \approx 0,8; s_{2} \approx 0,9$

b) Thông qua các số liệu thống kê với cùng đơn vị đo, ta có:

$\bar{x} \approx \bar{y} \approx 7,2; s_{1}^{2} > s_{2}^{2}$

Từ đó ta đưa ra kết luận điểm số của các bài thi ở lớp 10D là đồng đều nhau

Bài 2: Cho 2 bảng phân bố tần số ghép lớp sau:

Khối lượng của nhóm cá mè thứ nhất:

Đề bài 2 phương sai và độ lệch chuẩn

Khối lượng của nhóm cá mè thứ hai:

Đề bài 2 phương sai và độ lệch chuẩn

a) Tính các số trung bình cộng của các bảng phân bố tần số ghép lớp đã cho.

b) Tính phương sai của các bảng phân bố tần số ghép lớp đã cho.

c) Xét nhóm cá nào có khối lượng phân bố đồng đều hơn?

Hướng dẫn giải:

a) Khối lượng trung bình của nhóm cá mè thứ nhất là

$\bar{x} = \frac{1}{20}(4.0,7 + 6. 0,9 + 6.1,1 + 4.1,3) = 1$ (kg)

Tương tự tính khối lượng trung bình của nhóm cá mè thứ 2 là:

$\bar{y} = 1$ (kg)

b) Trung bình cộng các bình phương số liệu thống kê là:

$\bar{x^{2}} = \frac{1}{20}(4.0,7^{2} + 6.0,9^{2} + 6.1,1^{2} + 4.1,3^{2}) = 1,042$

$\Rightarrow s_{1}^{2} = \bar{x^{2}} - (\bar{x})^{2} = 1,042 - 1 = 0,042$

$\bar{y^{2}} = \frac{1}{20} (3.0,6^{2} + 4.0,8^{2} + 6.1^{2} + 4.1,2^{2} + 3.1,4^{2}) = 1,064$

$\Rightarrow s_{2}^{2} = \bar{y^{2}} - (\bar{y})^{2} = 1,064 - 1 = 0,064$

c) Nhóm cá thứ 1 có khối lượng đồng đều hơn so với nhóm cá thứ 2

Bài 3: Sản lượng lúa của 40 thửa ruộng thí nghiệm có cùng diện tích được trình bày trong bảng sau đây (đơn vị là tạ):

Sản lượng (x)	20	21	22	23	24
Tần số (n)	5	8	11	10	6	N = 40

a) Tính sản lượng trung bình của 40 thửa ruộng?

b) Tính phương sai và độ lệch chuẩn của bảng số liệu trên.

Hướng dẫn giải:

a) Số trung bình của sản lượng 40 thửa ruộng là:

$\bar{x} = \frac{5.20 + 8.21 + 11.22 + 10.23 + 6.24}{40} = 22,1$ (tạ)

b) Tính phương sai:

Cách 1: $s^{2} = \frac{1}{N}\sum_{i = 1}^{5}n_{1} (x_{i} - \bar{x})^{2}$ , thay số vào ta được:

$s^{2} = \frac{1}{40}[5(20 - 22,1)^{2} + 8(21 - 22,1)^{2} + 11(22 - 22,1)^{2} + 10(23 - 22,1)^{2} + 6(24 - 22,1)^{2}] = \frac{6160}{4000}$

$s^{2} = 1,54$

Cách 2: Ta có:

Do đó s² = $\frac{1}{N}\sum_{i = 1}^{5}n_{i}x_{i^{2}} - \frac{1}{N}(\sum_{i = 1}^{5}n_{i}x_{i})^{2}$

s² = $\frac{1}{40}.19598 - \frac{1}{40^{2}}.884^{2} = 1,54$

Tính độ lệch chuẩn s = $\sqrt{s^{2}} = \sqrt{1,54} \approx 1,24$

Bài 4: 1000 học sinh tham gia kỳ thi học sinh giỏi toán (thang điểm 20). Kết quả được cho trong bảng dưới đây:

Điểm	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
Tần số	1	1	3	5	8	13	19	24	14	10	2	N = 100

a) Tính số điểm trung bình.

b) Tính phương sai và độ lệch chuẩn của bảng số liệu.

Hướng dẫn giải:

a) Tính số trung bình:

$\sum_{i = 1}^{11}n_{i}x_{i} = 1.9 + 1.10 +...+ 10.18 + 2.19 = 1523$

Nên số trung bình là $\bar{x} = \frac{1523}{100} = 15,23$

b) Ta có: $\sum_{i = 1}^{11}n_{i}x_{i} = 1523$ và $\sum_{i = 1}^{11}n_{i}x_{i^{2}} = 23591$ nên phương sai là:

$s^{2} = \frac{1}{N}\sum_{i = 1}^{N}n_{i}x_{i}^{2} - \frac{1}{N^{2}}(\sum_{i = 1}^{N}n_{i}x_{i})^{2}$

$s^{2} = \frac{1}{100}.23591 - \frac{1}{100^{2}}.(1523)^{2} \approx 3,96$

Độ lệch chuẩn: $s = \sqrt{s^{2}} \approx 1,99$

Bài 5: Số máy tính bán được trong 7 tháng liên tiếp của một cửa hàng được ghi lại trong bảng sau đây:

Tính số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn.

Hướng dẫn giải:

Số trung bình là $\bar{x} = \frac{83 + 79 + 92 + 71 + 69 + 83 + 74}{7} \approx 78,71$

Ta có $\frac{1}{N}\sum_{i = 1}^{N}x_{i}^{2} = 6251,57; \frac{1}{N^{2}}(\sum_{i = 1}^{N}x_{i})^{2} = 6195,94$

Từ đó, ta suy ra được:

$s^{2} = \frac{1}{N}\sum_{i = 1}^{N}x_{i}^{2} - \frac{1}{N^{2}}(\sum_{i = 1}^{N}x_{i})^{2} = 6251,57 - 6195,94 = 55,63$

Vậy ta có:

$s = \sqrt{55,63} \approx 7,46$

PAS VUIHOC – GIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA

Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:

⭐ Xây dựng lộ trình học từ mất gốc đến 27+

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo sở thích

⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô

⭐ Học đi học lại đến khi nào hiểu bài thì thôi

⭐ Rèn tips tricks giúp tăng tốc thời gian làm đề

⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập

Đăng ký học thử miễn phí ngay!!

Các em vừa cùng VUIHOC ôn tập lý thuyết và thực hành với bộ bài tập tự luận phương sai và độ lệch chuẩn. Hy vọng sau bài viết này, các em sẽ không còn gặp khó khăn khi giải các bài tập hoặc đề thi có câu hỏi về phương sai và độ lệch chuẩn. Để đọc và tham khảo nhiều dạng kiến thức Toán THPT, đặc biệt là Toán lớp 10, các em truy cập trường học online hoặc đăng ký khoá học với thầy cô ngay tại đây nhé!

Tham khảo thêm:

⭐Bộ Sách Thần Tốc Luyện Đề Toán - Lý - Hóa THPT Có Giải Chi Tiết