1. Hình bình hành là gì?
Hình bình hành là Tứ giác có các cặp cạnh đối song song với nhau.
Tức: Tứ giác ABCD là Hình bình hành ⇔ AB // CD và AC // BD
Hiểu đơn giản: Hình bình hành là một hình thang có hai cạnh bên song song với nhau ( Hình bình hành là một dạng đặc biệt khác của hình thang ).
Xem thêm: Cách lên tích xanh facebook
Hình bình hành ABCD
2. Tính chất của Hình bình hành
– Tính chất 1: Trong một Hình bình hành, các cặp cạnh đối bằng nhau.
Cho Hình bình hành ABCD => AB = CD và AD = BC
– Tính chất 2: Trong một hình bình hành, các góc đối bằng nhau.
Cho Hình bình hành ABCD => Góc A = C và Góc B = D
– Tính chất 3: Trong một hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Cho Hình bình hành ABCD có AC cắt BD tại O => OA = OC=½ AC và OB = OD= ½BD
Tham khảo: Bảng tuần hoàn hóa học lớp 7
Tính chất hình bình hành
3. 5 Cách chứng minh hình bình hành
3.1.Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành
Ví dụ 1: Cho Tứ giác ABCD có E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Hỏi Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao?
Ta có:
EF là đường trung bình của tam giác ABC, do đó EF // AC (1)
Tương tự, HG là đường trung bình của tam giác ACD do đó HG // AC (2)
Từ (1) và (2) suy ra HG // EF
Tương tự ta có:
FG là đường trung bình của tam giác CBD, do đó FG // BD (3)
Tương tự, HE là đường trung bình của tam giác ABD do đó HE // BD (4)
Từ (3) và (4), ta suy ra HE // FG
Xét tứ giác EFGH có:
HG // EF và HE // FG
Chứng tỏ Tứ giác EFGH là Hình bình hành do có các cạnh đối song song. ( đpcm)
Tham khảo: Cách làm chân gà rút xương ngâm sả tắc
3.2.Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành
Ví dụ 2: Cho Tứ giác ABCD có 2 tam giác: ∆ABC = ∆CDA. Chứng minh rằng ABCD là Hình bình hành.
Theo bài ra, ta có:
∆ABC = ∆CDA => AD = BC và AB = CD
=> ABCD là hình bình hành do có các cặp cạnh đối bằng nhau.
3.3. Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành
Ví dụ 4: Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là trung điểm đoạn AD và F là trung điểm đoạn BC. Chứng minh rằng BEDF là hình bình hành.
Ta có:
ABCD là hình bình hành => AD // BC và AD = BC
AD // BC => DE // BF (1)
E là trung điểm AD => DE = AD/2
F là trung điểm BC => BF = BC/2
Mà AD = BC (do từ giác ABCD là hình bình hành)
=> DE = BF (2)
Từ (1) và (2), suy ra Tứ giác DEBF là hình bình hành (trường hợp hai cạnh đối song song và bằng nhau)
Tham khảo: Thắt lưng da cá sấu thật
3.4. Cách chứng minh hình bình hành khi có các góc đối bằng nhau
Ví dụ 5: Cho Tứ giác ABCD có ∆ABC = ∆ ADC và ∆BAD = ∆BCD. Chứng minh rằng ABCD là hình bình hành.
Theo bài ra, ta có:
∆ABC = ∆ADC => Góc ABC = Góc ADC (1)
∆BAD = ∆BCD => Góc BAD = Góc BCD (2)
Từ (1) và (2) suy ra Tứ giác ABCD là hình bình hành do có các góc đối bằng nhau.
3.5. Cách chứng minh hình bình hành có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
Ví dụ 6: Cho hình bình hành ABCD, với hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Từ đỉnh A kẻ AE vuông góc với BD, từ đỉnh C kẻ CF vuông góc với BD. Chứng minh rằng: Tứ giác AECF là hình bình hành.
Ta có:
ABCD là hình bình hành, với 2 đường chéo AC, BD cắt nhau tại O
=>> OA = OC (tính chất của hình bình hành) (1)
Xét hai tam giác vuông AEO và CFO có:
Góc AEO = Góc CFO = 90°
OA = OC
Góc AOE = Góc COF (hai góc đối đỉnh)
=> ∆AEO = ∆CFO (cạnh huyền – góc nhọn) => OE = OF (2)
Từ (1) và (2) suy ra Tứ giác AECF là hình bình hành do có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Ví dụ 7: Cho hình bình hành ABCD. Gọi I và K lần lượt là trung điểm của đoạn AB, CD. Đường chéo BD cắt AK, AI lần lượt tại điểm M, N. Chứng minh rằng: AK // CI và DM = MN = NB
Ta có:
AB // CD và AB = CD ( tính chất của hình bình hành)
Ta có: I, K lần lượt là trung điểm AB, DC, suy ra AI=IB và DK = KC
Tứ giác AICK có cặp cạnh đối song song và bằng nhau (AI và KC), do đó AICK là Hình bình hành => AK // CI (điều phải chứng minh)
Ta có
AM // IN và MK // NC
Xét tam giác AMB có:
AM // IN
AI = BI (I là trung điểm AB)
=> IN là đường trung bình của tam giác AMB
N là trung điểm MB => MN = NB (1)
Tương tự, xét tam giác DNC có:
MK // NC
DK = CK (K là trung điểm DC)
MK là đường trung bình của tam giác DNC
M là trung điểm DN nên DM = NM (2)
Từ (1) và (2) suy ra DM = MN = NB (điều phải chứng minh).
4. Cách tính chu vi hình bình hành
Chu vi của hình bình hành thực chất là tổng độ dài 4 cạnh của một hình bình hành. Chu vi này còn được tính bằng hai lần tổng một cặp cạnh kề nhau bất kỳ.
Muốn tính chu vi hình bình hành, ta có công thức sau:
Trong đó:
C: chu vi của hình bình hành
a, b: độ dài hai cạnh kề nhau bất kỳ của hình bình hành
Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD với độ dài hai cạnh a và b lần lươt là 5 cm và 7 cm. Hỏi chu vi của hình bình hành ABCD bao nhiêu?
Đáp án
Chu vi hình bình hành ABCD là:
C = (a + b) x 2 = (5+7) x 2 = 24 cm
5. Cách tính diện tích của hình bình hành
Diện tích hình bình hành được đo bằng độ lớn của bề mặt hình, đây chính là phần mặt phẳng ta có thể nhìn thấy của hình bình hành.
Diện tích hình bình hành tính bằng tích của cạnh đáy nhân với chiều cao.
Công thức tính diện tích hình bình hành
Trong đó:
S: Diện tích hình bình hành
a: độ dài cạnh đáy của hình bình hành
h: độ dài chiều cao (nối từ đỉnh tới đáy tương ứng)
Ví dụ: Hình bình hành ABCD có độ dài cạnh đáy CD = 8 cm và chiều cao nối từ đỉnh A xuống cạnh đáy CD là 5 cm. Diện tích hình bình hành ABCD là bao nhiêu?
Lời giải
Diện tích hình bình hành ABCD là:
S = a.h = 8 . 5 = 40 cm2
6. Bài tập chứng minh và các dạng toán áp dụng
Bài 1. Cho hình bình hành ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của đoạn AB và CD
a. Chứng minh: AF // CE
b. Gọi M, N lần lượt là là giao điểm của BD với AF, CE. Chứng minh: DM = MN = NB
Lời giải
a. Vì ABCD là hình bình hành:
⇒ AB = CD (tính chất hình bình hành)
mà E thuộc AB và F thuộc DC ⇒ AE // FC
Vì E, F là trung điểm của AB và CD
⇒ AE = EB = DF = FC= ½ AB= ½ CD
Xét tứ giác AECF có:
AE = FC và AE // FC
⇒ AECF là hình bình hành ⇒ AF // EC (tính chất)
b. Gọi giao điểm giữa AC và BD tại O
Xét tam giác ADC có:
DO, AF là trung tuyến (do AO = OC, DF = FC)
AF giao DO tại M
⇒ Suy ra M là trọng tâm của tam giác ADC
⇒ DM = 2/3 DO = 2/3 BO (1)
Và OM = 1/3 DO = 1/3 BO (2) (do có DO = BO)
Xét tam giác ABC có:
BO và CE là đường trung tuyến
BO giao CE tại N
⇒ N là trọng tâm của tam giác ABC
⇒ BN = 2/3 BO (3) và ON = 1/3 BO (4)
Từ (2), (4) suy ra MN = OM + ON = 1/3 BO + 1/3 BO = 2/3 BO (5)
Từ (1), (3) và (5), suy ra: DM = BN = MN
Bài 2. Cho Hình bình hành ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi E và F lần lượt là là trung điểm của OD và OB.
a. Chứng minh: AE // CF
b. Gọi AE giao CD tại K. Chứng minh: DK = 1/2 KC
Lời giải
a. Tứ giác ABCD là hình bình hành có AC giao BD tại O ⇒ OD = BO
Vì E, F lần lượt là trung điểm của DO và BO ⇒ DE = EO = OF = FB
Xét tứ giác AFCE có:
AC giao EF tại O nên:
OA = OC
OE = OF
⇒ AFCE là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)
⇒ AE // CF (tính chất hình bình hành)
b. Từ O kẻ OM // EK
Xét tam giác DOM có:
OM // EK
và E là trung điểm của DO
⇒ K là tung điểm của DM ⇒ DK = KM (1)
Xét tam giác CDK có:
OM // AK
và O là trung điểm của AC
⇒ M là trung điểm của KC ⇒ CM = KM= 1/2KC (2)
Từ (1) và (2) ⇒ DK = KM = CM
mà KM + CM = KC
⇒ DK = 1/2 KC
Bài 3. Tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H theo thứ tự lần lượt là trung điểm của BD, AB, AC, CD.
a. Chứng minh: EFGH là hình bình hành
b. Cho AD = a, BC = b. Tính chu vi của hình bình hành EFGH
Lời giải
a. Xét tam giác ABD có:
F và E lần lượt là trung điểm của đoạn AB, BD ⇒ EF là đường trung bình của tam giác ABD
⇒ EF // AD (1) và độ dài EF = 1/2 AD (2)
Tương tự, ta có GH là đường trung bình của tam giác ACD
⇒ GH // AD (3) và GH = 1/2 AD (4)
Từ (1) và (3) ⇒ EF // GH
(2) và (4) ⇒ EF = GH
⇒ Tứ giác GHEF là hình bình hành
b. Ta có: GH = EF = 1/2 AD = 1/2 a
FG = HE = 1/2 BC = 1/2 b
Chu vi hình bình hành GFEH là
C = (1/2 a + 1/2 b) .2 = a + b
Lời kết: Trên đây là khái niệm, tính chất và cách chứng minh Hình bình hành. Đây là mảng kiến thức khá cơ bản tuy nhiên sẽ giúp ích rất nhiều cho học sinh khi làm bài. Hy vọng với những chia sẻ trên sẽ giúp ích cho bạn đọc.